Rumus Luas Juring Lingkaran Lengkap dengan Cara Menghitung dan Contoh Soal

Liputan6.com, Jakarta Juring merupakan salah satu unsur lingkaran yang sering diujikan dalam mata pelajaran matematika di berbagai jenjang pendidikan. Untuk menghitung luasnya, diperlukan pemahaman tentang rumus luas juring yang merupakan turunan langsung dari rumus luas lingkaran.

Dilansir dari Cuemath, juring atau sektor lingkaran didefinisikan sebagai bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur yang menghubungkannya. Konsep ini menjadi fondasi penting dalam geometri bidang datar maupun berbagai aplikasi dunia nyata.

Dalam kehidupan sehari-hari, bentuk juring dapat ditemukan pada potongan pizza, diagram lingkaran, hingga desain kubah bangunan. Menguasai rumus luas juring membantu menyelesaikan soal matematika sekaligus memahami fenomena geometris dalam bangun datar di sekitar kita.

Sebelum membahas rumus luas juring secara mendalam, penting untuk memahami definisi dan karakteristik dasar juring terlebih dahulu. Mengacu pada penjelasan Cuemath, juring lingkaran (sector) adalah bagian berbentuk menyerupai potongan pai yang terbentuk dari busur beserta dua jari-jarinya. Berikut komponen dan jenis-jenis juring yang perlu diketahui.

1. Definisi Juring - Juring adalah ruang di dalam bagian lingkaran yang terbentuk oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Luas juring merupakan pecahan dari luas keseluruhan lingkaran. Bentuk ini sering dianalogikan dengan potongan pizza atau kue pai.
2. Juring Kecil (Minor Sector) - Juring dengan sudut pusat kurang dari 180 derajat disebut juring kecil atau minor sector. Ini adalah bagian yang lebih kecil dari setengah lingkaran.
3. Juring Besar (Major Sector) - Juring dengan sudut pusat lebih dari 180 derajat disebut juring besar atau major sector. Luasnya selalu melebihi setengah luas lingkaran penuh.
4. Setengah Lingkaran - Setengah lingkaran (semicircle) merupakan juring istimewa dengan sudut pusat tepat 180 derajat. Ini membagi lingkaran menjadi dua bagian yang sama besar.
5. Komponen Juring - Luas juring ditentukan oleh sudut pusat dan panjang jari-jari lingkaran. Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk di pusat lingkaran oleh dua jari-jari pembentuk juring.
6. Perbedaan Juring dan Tembereng - Juring dibatasi oleh dua jari-jari dan busur, sedangkan tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Keduanya sering tertukar dalam soal ujian.

Baca juga: 10 Unsur-Unsur Lingkaran dalam Matematika

Berdasarkan penjelasan Cuemath, rumus luas juring lingkaran ketika sudut pusat diukur dalam derajat adalah L = (theta/360) x pi x r^2, dengan theta merupakan sudut pusat juring dan r adalah jari-jari lingkaran. Rumus ini merupakan bentuk paling umum yang digunakan di jenjang SMP dan SMA. Konstanta pi dapat diaproksimasi sebagai 22/7 apabila jari-jari merupakan kelipatan 7, atau 3,14 untuk kasus lainnya. Berikut rincian rumus luas juring yang perlu dikuasai.

Rumus dalam Derajat:

L = (alfa / 360) x pi x r^2

Keterangan:

• L = Luas Juring
• alfa = sudut pusat juring (dalam derajat)
• pi = 3,14 atau 22/7
• r = jari-jari lingkaran

Selain menggunakan derajat, rumus luas juring juga tersedia dalam satuan radian, yaitu L = 1/2 x r^2 x theta, dengan theta adalah sudut pusat dalam radian. Satuan radian sering digunakan di tingkat SMA kelas 11 ke atas serta dalam kalkulus. Perlu diingat bahwa satu putaran penuh lingkaran setara dengan 2pi radian atau 360 derajat, sehingga konversi antara keduanya cukup sederhana. Memahami kedua rumus lingkaran ini memberikan fleksibilitas dalam menyelesaikan berbagai tipe soal.

Rumus dalam Radian:

L = 1/2 x r^2 x theta

Keterangan:

• L = Luas Juring
• r = jari-jari lingkaran
• theta = sudut pusat juring (dalam radian)

Merujuk Math LibreTexts, apabila panjang busur (s) diketahui secara langsung, luas juring juga dapat dihitung melalui rumus L = 1/2 x r x s. Rumus alternatif ini sangat berguna ketika soal tidak menyediakan informasi sudut pusat secara eksplisit, melainkan hanya panjang busur dan jari-jari. Perlu dicatat pula bahwa setengah lingkaran dan seperempat lingkaran merupakan jenis juring istimewa dengan sudut masing-masing 180 derajat dan 90 derajat.

Baca juga: Apotema dan Unsur-Unsur Lingkaran Lainnya

Rumus luas juring bukanlah rumus yang muncul begitu saja, melainkan diturunkan secara logis dari rumus luas lingkaran penuh. Sebagaimana dikutip dari Bright Champs, penurunan ini menggunakan metode uniter, yakni bermula dari fakta bahwa luas lingkaran penuh dengan sudut pusat 360 derajat dinyatakan oleh pi x r^2. Langkah demi langkah, kita dapat memahami asal-usul rumus luas juring yang digunakan saat ini.

Proses penurunannya dimulai dari pemahaman bahwa lingkaran penuh menempati sudut 360 derajat, dan luas seluruh lingkaran tersebut adalah pi x r^2. Jika sudut pusat bernilai 1 derajat saja, maka luas juring untuk 1 derajat sama dengan pi x r^2 dibagi 360. Dari sini, kita bisa memperluas logikanya: apabila sudut pusat juring bernilai theta derajat, maka cukup kalikan luas 1 derajat tersebut dengan theta. Hasilnya adalah rumus luas juring yang kita kenal, yakni L = (theta/360) x pi x r^2. Penurunan sederhana ini membuktikan bahwa rumus luas juring pada dasarnya menghitung proporsi luas lingkaran yang ditempati juring tersebut.

Dengan kata lain, pi x r^2 merepresentasikan luas lingkaran penuh, sementara theta/360 menunjukkan seberapa besar porsi lingkaran yang dicakup oleh juring. Pemahaman ini sangat penting karena membuat pelajar tidak sekadar menghafal rumus, tetapi memahami mengapa rumus tersebut berlaku. Ketika sudut pusat diperbesar, luas juring ikut membesar secara proporsional - dan sebaliknya.

Untuk penurunan dalam radian, logikanya serupa. Satu putaran penuh bernilai 2pi radian, sehingga rasio sudut juring terhadap putaran penuh menjadi theta/(2pi). Luas juring kemudian sama dengan theta/(2pi) dikalikan pi x r^2, yang disederhanakan menjadi 1/2 x r^2 x theta. Inilah mengapa terdapat dua versi rumus dalam geometri lingkaran - keduanya benar, hanya berbeda satuan sudutnya.

Panjang busur dan luas juring memiliki keterkaitan erat yang sering muncul dalam soal-soal matematika tingkat lanjut. Sebagaimana disampaikan Splashlearn, terdapat hubungan langsung antara sudut pusat dan luas, yakni rasio luas juring terhadap luas lingkaran sama dengan rasio sudut pusat terhadap 360 derajat. Memahami hubungan ini membuka jalan untuk menyelesaikan soal yang lebih kompleks. Berikut poin-poin penting tentang hubungan panjang busur dan luas juring.

1. Rasio Proporsional - Rasio panjang busur terhadap keliling lingkaran selalu sama dengan rasio luas juring terhadap luas lingkaran. Keduanya juga setara dengan rasio sudut pusat terhadap 360 derajat.
2. Rumus Luas Juring dari Panjang Busur - Jika panjang busur (s) dan jari-jari (r) diketahui, gunakan rumus L = 1/2 x r x s tanpa perlu mengetahui sudut pusat. Rumus ini sangat praktis dalam situasi tertentu.
3. Mencari Panjang Busur dari Luas Juring - Sebaliknya, jika luas juring dan jari-jari diketahui, panjang busur bisa dihitung dengan rumus s = (2 x L) / r. Hubungan ini memungkinkan konversi dua arah antara busur dan juring.
4. Perbandingan Dua Juring - Pada lingkaran yang sama, perbandingan luas dua juring selalu sama dengan perbandingan sudut pusatnya. Prinsip ini berguna saat membandingkan bagian-bagian lingkaran dalam matematika.
5. Keliling Juring (Perimeter) - Mengutip BYJU'S, keliling atau perimeter juring dihitung dengan rumus P = 2r + (theta/360) x 2 x pi x r. Keliling ini mencakup dua jari-jari ditambah panjang busur pembatasnya.
6. Aplikasi Praktis - Sebagaimana dikutip dari Omnicalculator, perhitungan luas juring bermanfaat dalam pembuatan rok lingkaran pada bidang menjahit, karena rok tersebut sebenarnya merupakan sektor lingkaran. Selain itu, konsep ini juga digunakan untuk menghitung luas selimut kerucut.

Baca juga: Cara Mencari Jari-Jari Lingkaran: Panduan Lengkap

Agar pemahaman tentang rumus luas juring semakin mantap, berikut disajikan beberapa contoh soal beserta langkah-langkah penyelesaiannya. Setiap soal menerapkan rumus yang telah dibahas sebelumnya pada berbagai tingkat kesulitan. Sebagaimana dilaporkan BrightChamps, penguasaan rumus juring sangat penting baik dalam geometri maupun kehidupan nyata, misalnya untuk menghitung bagian dari wilayah lingkaran.

Contoh Soal 1: Mencari Luas Juring dengan Sudut dalam Derajat

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm dan sudut pusat juring sebesar 90 derajat. Hitunglah luas juring tersebut!

Pembahasan:

Diketahui: r = 14 cm, alfa = 90 derajat

Ditanya: Luas Juring

Jawab:

L = (alfa / 360) x pi x r^2

L = (90 / 360) x 22/7 x 14 x 14

L = 1/4 x 22/7 x 196

L = 1/4 x 616

L = 154 cm^2

Jadi, luas juring lingkaran tersebut adalah 154 cm^2.

Contoh Soal 2: Mencari Luas Juring dengan Sudut 60 Derajat

Diketahui sebuah lingkaran dengan jari-jari 7 cm dan sudut pusat juring 60 derajat. Berapa luas juringnya?

Pembahasan:

Diketahui: r = 7 cm, alfa = 60 derajat

Ditanya: Luas Juring

Jawab:

L = (alfa / 360) x pi x r^2

L = (60 / 360) x 22/7 x 7 x 7

L = 1/6 x 22 x 7

L = 1/6 x 154

L = 25,67 cm^2

Jadi, luas juring lingkaran tersebut adalah sekitar 25,67 cm^2.

Contoh Soal 3: Mencari Luas Juring dengan Sudut dalam Radian

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitunglah luas juring yang memiliki sudut pusat pi/3 radian!

Pembahasan:

Diketahui: r = 10 cm, theta = pi/3 radian

Ditanya: Luas Juring

Jawab:

L = 1/2 x r^2 x theta

L = 1/2 x 10^2 x pi/3

L = 1/2 x 100 x 3,14/3

L = 50 x 1,047

L = 52,36 cm^2

Jadi, luas juring lingkaran tersebut adalah sekitar 52,36 cm^2.

Contoh Soal 4: Mencari Sudut Pusat dari Luas Juring yang Diketahui

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 21 cm dan luas juring sebesar 231 cm^2. Berapakah besar sudut pusat juring tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: r = 21 cm, L = 231 cm^2

Ditanya: Sudut pusat (alfa)

Jawab:

L = (alfa / 360) x pi x r^2

231 = (alfa / 360) x 22/7 x 21 x 21

231 = (alfa / 360) x 1386

alfa / 360 = 231 / 1386

alfa / 360 = 1/6

alfa = 360 / 6

alfa = 60 derajat

Jadi, besar sudut pusat juring tersebut adalah 60 derajat.

Keempat contoh di atas menunjukkan bahwa rumus luas juring bersifat fleksibel dan dapat digunakan untuk mencari berbagai komponen yang belum diketahui, baik luas, sudut pusat, maupun jari-jari lingkaran.

Baca juga: Ciri-Ciri Bangun Datar Tiap Jenisnya Lengkap dengan Rumus

Beberapa kesalahan umum yang sering terjadi saat menghitung luas juring antara lain: lupa menyertakan pi dalam perhitungan serta keliru membedakan luas juring dengan luas tembereng. Pastikan selalu membaca soal dengan teliti dan memastikan satuan sudut yang digunakan sesuai dengan rumus yang dipilih. Rasio sudut juring terhadap 360 derajat bersifat proporsional terhadap pecahan luas lingkaran yang sedang diukur. Prinsip proporsionalitas inilah kunci utama dalam setiap perhitungan luas juring.

Baca juga: 10 Contoh Bangun Datar Beserta Rumus Menghitung Luasnya

Pertanyaan Seputar Luas Juring

Apa perbedaan utama antara juring dan tembereng pada lingkaran?

Juring adalah daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur, sehingga bentuknya menyerupai potongan pizza. Sementara itu, tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran. Untuk menghitung luas tembereng, langkah pertama adalah mencari luas juring terlebih dahulu, lalu dikurangi luas segitiga yang terbentuk di dalamnya.

Kapan harus menggunakan rumus luas juring dalam derajat dan kapan menggunakan radian?

Gunakan rumus dalam derajat, yaitu L = (alfa/360) x pi x r^2, ketika soal menyatakan sudut pusat dalam satuan derajat. Rumus radian, yaitu L = 1/2 x r^2 x theta, digunakan ketika sudut dinyatakan dalam satuan radian. Pastikan selalu mengecek satuan sudut yang diberikan sebelum memilih rumus agar hasil perhitungan akurat.

Bisakah rumus luas juring digunakan untuk mencari jari-jari atau sudut pusat?

Tentu bisa. Rumus luas juring bersifat fleksibel dan dapat dimanipulasi secara aljabar untuk mencari komponen yang belum diketahui. Jika luas juring dan sudut pusat sudah diketahui, jari-jari bisa dihitung dengan mengubah susunan rumus menjadi r = akar dari (L x 360) / (alfa x pi). Begitu pula sebaliknya, sudut pusat dapat diperoleh jika luas juring dan jari-jari lingkaran sudah diketahui.

Memahami rumus luas juring secara menyeluruh - mulai dari pengertian, rumus dalam derajat maupun radian, penurunannya, hingga hubungannya dengan panjang busur - menjadikan topik ini lebih mudah dikuasai. Kunci utamanya terletak pada latihan rutin mengerjakan berbagai tipe soal matematika agar terbiasa mengidentifikasi informasi yang tersedia dan memilih rumus yang tepat. Dengan fondasi konsep yang kuat, setiap perhitungan juring lingkaran akan terasa jauh lebih mudah dan menyenangkan.