Integral Adalah Operasi Matematika, Simak Jenis-Jenis dan Contohnya

Bentuk penjumlahan kontinu yang melibatkan operasi anti turunan dikenal sebagai integral. Menurut buku Kamus Matematika: Istilah, Rumus, dan Perhitungan, istilah integral merujuk pada suatu fungsi, ketika dipandang sebagai kata benda. Dari segi sifat, istilah ini dapat diartikan sebagai "dalam bentuk bilangan bulat." Sebagai contoh, jika suatu polinom memiliki koefisien integral, hal ini mengindikasikan bahwa semua koefisiennya berupa bilangan bulat.

Dalam konteks sejarah Archimedes, seorang ilmuwan Yunani, pertama kali mengemukakan gagasan integral. Ia hidup sekitar tahun 287-212 sebelum Masehi, dan menggunakan integral untuk menyelesaikan permasalahan terkait mencari luas daerah lingkaran, dengan membatasi parabola dari tali busur dan elemen-elemen lainnya.

Menurut buku "Kalkulus Diferensial dan Integral (Teori dan Aplikasi)," integral dapat dianggap sebagai fungsi, dengan fungsi F sebagai "anti turunan" atau "anti diferensial" dari suatu fungsi f, pada suatu interval I. Dengan kata lain, integral dari fungsi f pada selang I adalah fungsi F(x)=f(x) untuk setiap x dalam I. Secara sederhana, integral dapat dianggap sebagai operasi matematika yang menjadi invers, dari turunan dan batasan dari jumlah atau luas daerah tertentu. Integral terbagi menjadi dua jenis utama yaitu integral tak tentu, yang berfungsi sebagai invers dari turunan, dan integral tentu yang berperan sebagai limit, dari jumlah atau luas daerah tertentu.

 

Integral Tak Tentu (Indefinite Integral)

Integral tak tentu atau antiderivatif, adalah konsep dasar dalam kalkulus. Saat kita mencari integral tak tentu dari suatu fungsi f(x), kita mencoba menemukan fungsi lain, biasanya disebut fungsi primitif yang ketika di diferensiasi, akan menghasilkan f(x) kembali. Ini mengarah pada konsep konstanta integrasi (C), yang muncul karena kita tidak dapat menentukan fungsi primitif secara unik. Integral tak tentu dilambangkan sebagai ∫f(x)dx+C.

Integral Tentu (Definite Integral)

Integral tentu adalah alat penting dalam mengukur luas area, di bawah kurva fungsi di antara dua titik tertentu pada sumbu x. Integral tentu memungkinkan kita, untuk menghitung jumlah perubahan fungsi di antara dua batas tertentu. Notasi matematika untuk integral tentu adalah ∫ab​f(x)dx, di mana a dan b adalah batas integrasi, yang menentukan interval.

Integral Ganda (Double Integral)

Integral ganda adalah konsep yang digunakan dalam matematika tiga dimensi dan lebih. Dalam konteks integral ganda, kita menghitung volume atau luas permukaan objek dalam tiga dimensi. Integral ganda memungkinkan kita, untuk mengintegrasikan fungsi terhadap dua variabel independen, biasanya x dan y. Ini digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti fisika dan teknik, di mana perhitungan volume dan luas permukaan tiga dimensi penting.

Integral Tiga Kali (Triple Integral)

Integral tiga kali adalah generalisasi dari integral ganda ke tiga dimensi. Dalam konteks ini, kita menghitung volume dalam ruang tiga dimensi. Ini sangat relevan dalam fisika, terutama dalam pemodelan sistem fisik yang kompleks, seperti fluida dalam tiga dimensi atau benda tiga dimensi.

Integral Lipat (Multivariable Integral)

Integral lipat adalah jenis integral yang melibatkan lebih dari dua variabel independen. Ini digunakan dalam matematika multivariabel, di mana kita mengintegrasikan fungsi terhadap sejumlah variabel independen. Contoh integral lipat meliputi integral dalam koordinat polar, koordinat silinder, dan koordinat bola, yang memainkan peran penting, dalam berbagai aplikasi ilmu pengetahuan.

Integral Tak Wajar (Improper Integral)

Integral tak wajar adalah jenis integral yang digunakan, untuk menghitung fungsi yang tidak terbatas pada interval tertentu atau pada interval tak terhingga. Dalam hal ini, kita menggunakan limit untuk menghitung integral dalam kasus fungsi yang mungkin tidak memiliki nilai integral biasa.

1. Soal Integral Tak Tentu

Di bawah ini beberapa soal integral tak tentu beserta pembahasannya:

f ‘(x) = 8x — 5f(2) = 9

maka f(x) =

Jawabannya:

f(x) = ∫ 8x-5 dx =4x²-5x+c

f(2) = 9

4.22 — 5.2 + c = 9

16 — 10 + c = 9

c = 3

Jadi,

f(x) = 4×2 — 5x + 3

f(x) = x^n, maka turunannya menjadi, f(x) = nx^n-1

Misalnya: turunan dari f(x) = 5x^3 adalah,

f(x) = 3 x 5^3-1

= 15^2

Sedangkan, notasi untuk integral adalah “∫…dx”

Sedangkan, bentuk umum dari integral tidak tentu yaitu,

∫f(x) dx = F(x) + C

dengan C suatu konstanta real, f(x) adalah turunan dari F(X) + C

Coba tentukan secara tepat tentang ∫2 dx dan nilai dari ∫x dx.

Jawabannya:

Turunan dari 2x +C yaitu 2. Sehingga ∫2 dx=2x+C. Jadi, turunan ½ x2+C yaitu x. Sehingga, ∫x dx=1/2 x2+C.

Tentukan integral berikut: ∫6x^2 dx

Jawabannya:

∫6x^2 dx

= 6 ∫x^2 dx

= 6 x x^3/3 + C

= 2x^3 + C

Jadi, integral dari 6x^2 dx adalah 2x^3 + C

Soal II

Turunan kedua dari fungsi y = f(x) yakni 6x – 16. Gradien garis singgung kurva pada titik P (2, 7) adalah 5. Maka f(x) adalah.

Jawabannya:

f'(x) = ∫ (6x-16) dx = 3x² -16x + k

karena f ‘(2) = 5 maka

3.22 – 16.2 + k = 5

12 – 32 + k = 5

k = 25

Maka f ‘(x) = 3×2 – 16x + 25

f(x) = ∫(3x²-16x+25)dx = x³-8x²+25x+c

karena f(2) = 7 maka

23 – 8.22 + 25.2 + c = 7

8 – 32 + 50 + c = 7

26 + c = 7

c = – 19

Jadi f(x) = x³-8x²+25x-19

Soal III

Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) pada setiap titik (x, y) yaitu 8x – 7. Apabila kurva melewati (2, 5) maka koordinat titik potong kurva dengan sumbu y adalah.

Jawaban:

f ‘(x) = 8x – 7

f(x) = ∫8x-7dx =4x²-7x+c

Karena melalui (2, 5) maka,

f(2) = 5

4.22 – 7.4 + c = 5

16 – 28 + c = 5

c = 17

maka,

f(x) = 4×2 – 7x + 17

Koordinat pada titik potong dengan sumbu y terjadi ketika x = 0

y = f(0) = 0 – 0 + 17 = 17

Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu (0, 17)

2. Soal Integral Tentu

Berikut di bawah ini adalah soal integral tentu beserta jawabannya:

1∫1 2x dx

Jawabannya:

1∫1 2x dx = 0

0∫2 (2x + 1) dx

Jawabannya:

0∫2 (2x + 1) dx = x2 + x]2 0

= (2 2 + 2)-(0 2 – 0)= 6

2∫0 (2x + 1) dx

Jawabannya:

2∫0 (2x + 1) dx = x2 + x]0 2

=(0) – (2 2 + 2)-6

1∫2 (2×2 – x – 1) dx

Jawabannya:

1∫2 (2×2 – x – 1) dx=2/3 x3 – x2 – x]2 1

=(2/3.23-22-2)-(2/3.1 3-1 2-1)

=-2/3 + 4/3=2/3

0∫2 3×2 dx

Jawabannya:

0∫2 3×2 dx =[ x3 ] 1 0 + [ x3 ] 0 1

= (2 3) – (0)=8