Linear Adalah Garis Lurus dalam Matematika, Ketahui Rumus dan Persamaan Variabelnya

Liputan6.com, Jakarta Linear adalah sebuah istilah yang berkaitan dengan garis lurus, atau hubungan yang bersifat proporsional antara dua variabel. Dalam matematika, sifat linear dapat merujuk pada fungsi, persamaan, atau operasi matematika yang dapat diwakili oleh garis lurus dalam sistem koordinat.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), linear adalah berbentuk garis. Sebuah fungsi matematika dikatakan linear, jika grafik membentuk garis lurus dalam sistem koordinat. Fungsi linear umumnya dapat diwakili oleh persamaan f(x)=mx+b, di mana m adalah kemiringan (slope) dan b adalah intercept y (y-intercept).

Linear adalah persamaan matematika yang melibatkan variabel, dengan derajat tertinggi satu. Persamaan ini dapat memiliki bentuk seperti ax+b=0, di mana a dan b adalah konstanta. Sedangkan operasi linear adalah operasi matematika yang mematuhi sifat superposisi dan homogenitas, di mana hasil dari operasi linear proporsional terhadap operandanya.

Linearitas memberikan dasar untuk berbagai konsep dan aplikasi dalam matematika, serta berbagai bidang ilmu lainnya termasuk fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Konsep linear sangat penting dalam menganalisis, dan memodelkan banyak fenomena dalam berbagai disiplin ilmu. Berikut ini penjelasan linear dalam matematika yang Liputan6.com rangkum dari berbagai sumber, Senin (27/11/2023).

Penerimaan mahasiswa baru 2020/2021 mulai dibuka. Bagi kamu yang tak suka matematika, ada beberapa rekomendasi jurusan.

2 dari 4 halaman

Persamaan dan Fungsi Linear dalam Matematika

Linear adalah satu persamaan dalam ilmu aljabar, di mana persamaan ini mengandung konstanta dan variabel tunggal. Nama "linear" digunakan karena hubungan matematisnya dapat diwakili oleh garis lurus dalam sistem koordinat kartesian. Pada dasarnya, fungsi linear didefinisikan sebagai relasi yang memetakan setiap anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Setiap anggota himpunan A harus memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.

Fungsi linear ini sering juga disebut sebagai Persamaan Garis Lurus (PGL), yang dalam matematika erat kaitannya dengan variabel, koefisien, dan konstanta. Fungsi linear di dunia matematika akan selalu berkaitan erat dengan variabel, koefisien, dan konstanta. Dengan demikian, fungsi linear dapat diartikan sebagai fungsi yang grafiknya membentuk garis lurus.

Setelah memahami seperti apa fungsi linier, maka ada beberapa sifat-sifat persamaan linear yang wajib dipahami sebagai berikut:

1. Penjumlahan dan pengurangan bilangan pada kedua ruas tidak akan mengubah nilai persamaan.

2. Perkalian dan pembagian bilangan pada kedua ruas tidak akan mengubah nilai persamaan.

3. Nilai persamaan tetap tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi oleh bilangan yang sama.

4. Jika suatu persamaan dipindahkan antar ruas, penjumlahan berubah menjadi pengurangan, perkalian berubah menjadi pembagian, dan sebaliknya.

3 dari 4 halaman

Rumus

Ilustrasi Matematika — Ilustrasi matematika. (Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay)

Bentuk umum dari fungsi linear adalah sebagai berikut,

f : x → mx + c atau juga dapat menjadi

f(x) = mx + c atau juga dapat menjadi

y = mx + c

Keterangan:

m = gradien atau kemiringan

c = konstanta

Fungsi linear ini tidak akan jauh dari yang namanya penggambaran grafik, sehingga ketika harus melakukannya harus mencermati beberapa langkah berikut ini.

Menentukan titik potong dengan sumbu x, maka y = 0, didapatkan dari koordinat A (x1, 0)
Menentukan titik potong dengan sumbu y, maka x = 0, didapatkan dari koordinat B (0, y1)
Menghubungkan dua titik A dan B, sehingga akan membentuk garis lurus persamaan linear yang kemudian ditulis dengan y = ax + b.
Apabila b bernilai positif, maka fungsi linear akan dilukis garis dari arah kiri bawah ke kanan atas.
Apabila b bernilai negatif, maka fungsi linear akan dilukis garis dari arah kiri atas ke kanan bawah.
Apabila b bernilai 0, maka fungsi linear akan dilukis garis yang sejajar dengan sumbu datar X.

Contoh Soal:

Terdapat suatu fungsi linear adalah f(x) = 6x + b. Tentukanlah bentuk fungsi tersebut jika diketahui f(4) = 8.

Penyelesaian:

f(x) = 6x + b

f(4) = 6 x 4 + b = 8

8 = 6 x 4 + b

b = 8 – 24

b = -16

f(x) = 4x – 16

4 dari 4 halaman

Persamaan Linear

1. Persamaan Linear Satu Variabel

Sesuai dengan namanya, persamaan linear satu variabel hanya mengandung satu variabel berpangkat 1 yang berbentuk kalimat terbuka dengan dihubungkan tanda =.

Kalimat terbuka di sini berarti adalah kalimat yang belum tahu kebenaranya atau bisa jadi benar, bisa jadi juga salah.

Bentuk umum dari Persamaan Linear Satu Variabel adalah:

ax + b = 0

Keterangan:

a = koefisien

b = konstanta

x = variabel

a dan b adalah bilangan riil

a dan b bukan nol

Namun, yang perlu digaris bawahi adalah variabel tidak selalu menggunakan lambang x, bisa jadi menggunakan y atau yang lainnya.

Contoh sederhana:

10x + 2 = 22

x = 22-2/10

x = 2

Maka nilai dari huruf x adalah 2

2. Persamaan Linear Dua Variabel

Sesuai dengan namanya, Persamaan Linear Dua Variabel merupakan sistem persamaan dengan variabel yang berjumlah dua dengan berpangkat 1. Persamaan linear dua variabel menggunakan relasi = dan tidak ada perkalian variabel di setiap persamaan. Tanpa disadari, Persamaan Linear Dua Variabel ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sederhana di kehidupan sehari-hari, terutama dalam aktivitas jual beli. Biasanya persamaan ini digunakan untuk mencari keuntungan.

Bentuk umum dari Persamaan Linear Dua Variabel adalah:

ax + by = c

Persamaan Linear Dua Variabel bisa diselesaikan dengan dua metode, yaitu metode substitusi dan metode eliminasi.

Metode substitusi digunakan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel persamaan lain. Sedangkan Metode eliminasi dengan cara menghapus salah satu variabel dalam persamaan.

Contoh sederhana:

2x+4y = 12

2x+2y = 8

Berapa nilai x dan y?

Penyelesaian:

Persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan metode substitusi. Yaitu dengan cara pertama memilih salah satu persamaan.

2x+4y = 12

Kemudian kita pindahkan satu variabel ke ruas lainnya.

2x=12-4y

Untuk menghilangkan variabel x maka dibagi dengan nilai koefisien x.

2x/2 = 12-4y/2

x = 6 – 2y

Jadi nilai x untuk sementara adalah 6-2y. Kemudian untuk mencari nilai y masukan ke dalam persamaan kedua.

2x+2y = 8

2(6-2y) + 2y = 8

12-4y+2y = 8

-2y = 8-12

-2y = -4

Untuk menghilangkan variabel ya maka dibagi dengan nilai koefisien y.

-2y/-2 = -4/-2

y = 2

Setelah nilai y ditemukan kemudian masukan ke nilai x sementara tadi.

x =.6-2y

x = 6-2(2)

x = 2.

3. Persamaan Linear Tiga Variabel

Persamaan linear tiga variabel merupakan bentuk perluasan dari persamaan linear dua variabel. Sama seperti persamaan linear dua variabel, persamaan ini juga bisa diselesaikan dengan dua metode, yaitu substitusi dan eliminasi.

Sistem ini biasanya digunakan untuk menentukan titik potong dan hal itu bermanfaat dalam hal seperti mendirikan bangunan supaya lebih presisi.

Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah:

ax + by + cz = d

Contoh sederhana:

x + y + z = 8

x + 2y + 2z = 14

2x + y + 2z = 13

Penyelesaian:

x + y + z = 8

Karena nilai koefisien dari x tidak ada, maka kita hanya perlu memindah dua variabel ke kanan.

z = 8 – x – y

Kemudian masukan persamaan salah satu persamaan.